Экстраполяция. Интерполяция.

В практике анализа хозяйственной деятельности широко используются различные математические методы научного исследования. В качестве примера рассмотрим два из них — это экстраполяция и интерполяция.

ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ

— метод научного исследования, заключающийся в распространении выводов, получен­ных из наблюдения над одной частью явления, на его другую часть. В прост­ранстве понимается как распростра­нение выборочных данных на другую совокупность, не подвергнутую наблю­дению; во времени предполагает, что установленная тенденция в прошлом периоде будет сохраняться и в буду­щем. Применяется в перспек­тивном планировании, прогнозирова­нии, при нахождении последующих значении (уровней) динамического ряда, когда известны предыдущие.

Для этих целей могут быть использова­ны выравнивание уровней динамиче­ского ряда по способу наименьших квадратов и подстановка в полученное уравнение соответствующих значений t. Например, выравнивая уровни ряда по параболе 2-го порядка за прошедшие 5 лет, получили аналитическое урав­нение у1=а0+а1t+а2t2, и есть осно­вание предполагать, что в последующие 2 года данная тенденция не изменится. Подставив в уравнение значения t=6 и 7, получим искомые уровни этих лет.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

— нахождение не­известных промежуточных значений (уровней) динамического ряда при известных соседних. Может выпол­няться путем использования двух или нескольких уровней, при этом различ­ные суждения о динамике развития явления при интерполяции приводят и к различным результатам, поэтому при выборе того или иного предположения о тенденции развития изучаемого явления динами­ческий ряд рассматривают до и после (или одновременно) интерполируемого периода и приходят к определенному заключению.

Пример:

Допустим, что в 1995 г. выпуск продукции соста­вил 30 единиц, а в 1997 г.— 42 единицы (тыс. рублей, м, т, м3 и т. д.). Требуется выполнить интерполяцию, и вычислить предпола­гаемый уровень на 1996 г. Имеем:

t= 1, 2, 3 — порядковые номера лет; y1, y2(?), y3 — их объемы выпуска про­дукции.

1. Предполагая, что выпуск продукции увеличивается с постоянным приростом D, равным D = (y3 – y1) / (3 – 1) = (42 – 30) / 2 = 6, вычислим уро­вень ее выпуска на 1996 г.:

y2 = 30 + 6 = 36 (как полусумма продукции).

2. Если уровни выпуска сменялись с постоянным (средним) коэффициен­том роста, то

yi = yi-1 * Ö (yn / y1); y2 = 30 * Ö 42 / 30 = 35,5 единиц.

3. Пусть известен еще один уровень выпуска продукции за 1994 г.— 20 единиц. Предполагая, что изменение выпуска происходило по параболе 2-го порядка у1=а0+а1t+а2t2, получим систему из трех уравнений:

a0 + a1 +a2 = 20

a0 + 2a1 + 4a2 = 30

a0 + 4a1 + 16a2 = 42

где a0, a1, a2 — искомые параметры уравнения.

Решая систему, получим:

a0 = 7,33; a1 = 14; a2 = –1,33, yti = 7,33 + 14 * 3 – 9 * (–1,33) = 37,4 едини­цы.

Также, интерполяция путем исполь­зования уровней, предшествующих не­известным и последующих за ними, может быть выполнена при помощи выравнивания искомой линии способом наименьших квадратов.

Меню